1.3 刚体力学基础​

1.3 刚体力学基础 ​刚体 ​不能变形的物体称为刚体，是一种理想模型刚体的运动形式可分解为平动和转动，转动可用 θ,ω,α 描述大学物理中只研究刚体的定轴转动转动惯量 J ​刚体绕定轴转动时惯性的量度，由质量对轴的分布决定转动惯量等于各质点质量乘以距离的平方再求和对于质点系，J=∑miri2；对于连续体，J=∫r2dm质量分布离轴越远，转动惯量越大。等质量的空心物体比实心物体转动惯量大常见物体的转动惯量（要求记忆，至少记住前四个）：

形状转动惯量圆环，空心圆柱（对中心轴）MR2圆盘，实心圆柱（对中心轴）12MR2细杆（对中点）112ML2细杆（对端点）13ML2实心球体（对直径）25MR2空心球壳（对直径）23MR2平行轴定理：刚体对于任意轴的转动惯量 = 对质心的转动惯量 + 质量乘以两个轴距离的平方。

例 1

四根均匀细杆，质量均为 m，长度均为 l，构成一个正方形。求它关于过正方形中心、垂直于正方形所在平面的轴的转动惯量。

绘出图形：

求出一根杆相对于轴的转动惯量再乘四就可以了。考虑采用平行轴定理：

J=4[112ML2+M(L2)2]=43ML2转动定律 ​可视作牛顿第二定律在刚体转动上的推广。

力矩 M：对于定轴转动，力矩等于力垂直于轴的分量，乘以它到轴的距离，公式为 M=Fd转动定律：角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，M=Jα（类比 F=ma）例 2

一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量 J=3.0kg⋅m2，角速度 ω0=6.0rad/s。现对物体加一恒定的制动力矩 M=−12N⋅m，当物体的角速度减慢到 ω=2.0rad/s 时，物体已转过了角度 Δθ= ―。

由转动定律有

α=MJ=−4rad/s2将高中的 2as=vt2−v02 类推过来，有

2α⋅Δθ=ω2−ω02⇒Δθ=4rad例 3

一长为 l，质量为 m 的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为 m 的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初转速地释放。则杆刚被释放时的角加速度 α0= ―，杆与水平方向夹角为 60∘ 时的角加速度 α= ―。

先计算杆和球整体的转动惯量。小球视为质点。

J=13ml2+ml2=43ml2刚释放时，进行受力分析：

M1=mg⋅l2+mgl=32mgl⇒α0=M1J=9g8l杆与水平方向夹角为 60∘ 时，进行受力分析：

M2=mg⋅l4+mg⋅l2=34mgl⇒α0=M2J=9g16l例 4

质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘，同轴地固定在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 m 的重物，求盘的角加速度的大小。

大小圆盘整体可以视作刚体，其转动惯量为：

J=12mr2+12⋅2m⋅(2r)2=92mr2进行受力分析：

圆盘受到的合力矩为（圆盘的重力过轴，不考虑）：

M=2r⋅T1−r⋅T2=J⋅α对于两个物块有：

mg−T1=ma1T2−mg=ma2又有

a1=2αra2=αr解得 α=2g19r。

刚体的角动量 ​刚体定轴转动的角动量：L=Jω

角动量定理：外力矩对时间的积累等于角动量的变化

∫t1t2M外dt=ΔL=Jω2−Jω1若刚体绕光滑轴旋转，无其他外力，则角动量守恒。

例 5

质量为 m 的小孩站在半径为 R 的水平平台边缘。平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为 J。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然以相对于地面为 v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度为 ―。

符合角动量守恒的条件。有：

0=Jω+mvR⇒ω=−mvRJ故相对地面旋转的角速度为 mvRJ，顺时针。

例 6

一静止均匀细棒长为 L、质量为 M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 O 在水平面内转动。一质量为 m、速率为 v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 0.5v，则此时棒的角速度为 ―。

考虑对棒和子弹组成的系统应用角动量守恒。

0+mvL=13ML2⋅ω+mv2L⇒ω=3mv2ML刚体的动能 ​力矩做功：W=∫θ1θ2Mdθ刚体的动能：若刚体只做定轴转动，则刚体的转动动能为 Ek=12Jω2刚体的动能定理：W=ΔEk=Ek2−Ek1刚体的重力势能：Ep=mghc，其中 hc 是质心的高度机械能守恒定律：若只有保守内力做功，则系统的机械能守恒刚体与质点的对比：

质点刚体运动方程F=maM=Jα(角) 动量p=mvL=Jω(角) 动量定理∫Fdt=Δp∫Mdt=ΔL动能Ek=12mv2Ek=12Jω2力 (矩) 做功W=∫FdxW=∫Mdθ例 7

均匀细杆长为 L，质量为 6m，被光滑水平轴 O 固定在天花板上。一个质量为 m 的子弹以速度 v 射入细杆自由端，并留在细杆内。求：

碰撞后瞬间，细杆的角速度；细杆能摆动最大角度的余弦值。碰撞瞬间采用角动量守恒：

mvL+0=mL2ω+136mL2ω⇒ω=v3L直接计算杆和子弹整体的质心与 O 的距离：

R=12L⋅6m+L⋅m6m+m=47L杆和子弹整体的转动惯量

J=13⋅6mL2+mL2=3mL2

从开始摆动到最高点，质心上升的高度 Δh=(1−cos⁡θ)R，根据动能定理，有

12Jω2=(6m+m)gΔh12⋅3mL2(v3L)2=7mg(1−cos⁡θ)47Lcos⁡θ=1−v224gL例 8

质量分别为 m，2m 的物块 A、B 通过细线相连，绕在可自由旋转的滑轮上。滑轮的质量为 3m，是半径为 R 的均匀圆盘。滑块 A 放在光滑水平桌面上。求：

物块 B 下落的加速度；当物块 B 下落高度为 h 时的速度大小。

第一问采用牛二和转动定理。

对于两个物块：

2mg−T2=maT1=ma对于圆盘：

T2R−T1R=123mR2⋅α角量与线量的关系：

a=αR联立解得 a=49g。

第二问考虑机械能守恒。

物块 B 的重力势能转化为 A, B 和圆盘的动能。设 B 下落 h 时速度为 v，有

EkA=12mv2EkB=12(2m)v2=mv2Ek盘=12Jω2=12⋅12(3m)R2(vR)2=34mv2故有

2mgh=∑Ek=(12+1+34)mv2解得 v=22gh3。